2025年电子设计大赛G题《电路模型探究装置》：RCL无源网络各结构的数学分析（2）

置顶

精

活动

 并联方案有六种，首先根据决定谁是单独出来的器件共有三种，交换二者顺序则可以得到2*3 = 6种组合：

1

  其传递函数如下所示：

  它是一个高通滤波器。

2

  其传递函数如下所示：

  它是一个低通滤波器。

3

 这个网络非常经典，是一个谐振去频滤波器，谐振点阻抗最低，他的传递函数如图所示：

4

  这个网络和上面的网络刚好相反，他是一个谐振选频网络，其传递函数如下所示：

5

  该电路传递函数如下：

它是一个低通滤波器。

6

  该电路传递函数如下：

  它是一个高通滤波器。

  我们可以观察到，RCL组成的所有无源网络，他们传递函数的分母都是：一个二阶三项式，分子则是二阶一阶常数都有。

    因此在幅度分析的时候，可以改变直接分开分析分子分母：

  最多六个未知数，最少三个未知数，可以先通过幅频曲线来求解各未知数的值，但是这个过程相当的复杂。

  同样的，我们可以通过幅频特性曲线来简单的一部分析传递函数的大体形式(注意常数项为1)，并且下文所说频率，都是横坐标是以rad为单位，纵坐标db为单位。

例如该幅频特性曲线，斜率由-40db转为-20db（斜率上升）再进一步变为0，由此我们可以分析出其传递函数分母有两个因子，分母为带s平方（低频斜率为-40）

  同样的下面这个频率特性曲线：

 其低频段为系数，则代表着无带s公因子，高频段频率为-40db且出现谐振，则代表分母是一个二阶振荡环节，且韦达定理表达式为判别式小于0，即分母无法因式分解。

  若判别式大于零则应该出现两个转折频率，且折现斜率为依次下降。

  但是即便是这样子，解方程的难度依旧非常非常的大。

上述的情况，都是器件参数相差不是很大的情况，就是比方说下面这个传递函数：

 他的分母项有两种情况：第一种是两个s的解都是负数，另外一种情况是s无解。也就是韦达定理对应的Δ是大于0还是小于0，这两种情况所表现的幅频曲线是完全不一样的：

这种是分母实际有解的情况，另外一种是分母无解的情况，我们可以通过增大L来让分母变成无解的状态：

 同样的电路，在放大L后，也就是让分母的韦达定理判别式<0，其传递函数表现完全不一样。

 这是因为原本的分母可以被因式分解为两个因子，τ1和τ2分别决定了原本曲线的转折频率：

数学模型的建议是需要幅频曲线来辅助的，但是就论关于25年电赛《电路探究装置来说》

  建模的本质也就是为了找到该频率对应的幅度变化和相位变化，个人认为并没有必要去专门为了得到数学模型而去分析，因为在这里建立数学模型的意义无非是为了帮助我们去分析相位变化和幅度变化而已。

  题目仅要求我们显示滤波类型，我们可以利用扫频获得幅度曲线的方法来判断滤波类型。

例如通过幅频特性曲线，可以知道电路到底是低频段衰减小，还是高平段衰减小，从而获悉是高通滤波器还是低通滤波器。

  但是大家要知道，现实电路面临的问题是，激励源不足以支撑我们得到完整曲线：

 -180db对应的放大倍数是小数点后九位，这代表着绝大多数情况下，我们获得的幅度数据是不准确的。

实际上的扫频曲线可能是这样子的，因此这也是为什么不推荐大家进行建模的原因之一。